几道数学题，高手进

1.此题是一个很典型的向量题，解此类向量题目有一个比较好的方法就是利用向量的以下两个性质：（1）在平面中选定不平行的两个非零向量作为基向量，那么平面中的任何一个向量都可以用这两个基向量表示出来；（2）三点如果共线，那么它们构成的向量是平行的，一个向量可以用另一个向量和一个数相乘的方式表示。

具体到此题，我们选择BO向量的1/3为一个基向量，记作a向量，以BC向量的1/2为另一个基向量，记作b向量；则有：

OA向量=b向量-3a向量；

OC向量=2b向量-3a向量；

OE向量=uOA向量=ub向量-3ua向量；

图中D,E,C三点共线，我们用基向量a和b将DC向量和EC向量表示出来，则这两个向量应该平行；

DC向量=DO向量+OC向量=2a向量+2b向量-3a向量=2b向量-a向量；

EC向量=EO向量+OC向量=3ua向量-ub向量+2b向量-3a向量=(3u-3)a向量+（2-u）b向量；

令DC向量=λEC向量，则有：

-1=λ(3u-3)    【a向量系数相等】

2=λ(2-u)      【b向量系数相等】

解二元二次方程组得：u=4/5

2.此题甚易，就是解三角形了。

（1）此时OC是以xOA=(2√3)/3,yOB=(√3)/3为一组邻边的平行四边形的对角线，延长线段OA至A'，使OA'=xOA=(2√3)/3，在三角形OA'C中，OA'=2A'C，∠A'=60°，很显然三角形OA'C是直角三角形，且∠COA=30°

（2）对于AB弧上任意的C点，过C作OB的平行线交OA或OA的延长线于A'，则有：

OC=1；OA'=x；CA'=y; 且A'纯岁=60°所以这个问题就转化为在三角形OA'C中，两边长分别为x,y，夹角为60°，对边为1，求x+y的最大值。

此时利用余弦定理可得：cos60°=(x^2+y^2-1)/2xy；

化简得：xy=[(x+y)^2-1]/3

因为此题中x,y只可能为正数，所老知以有x+y>=2√xy（当且仅当x=y时取等号）

变型得：(x+y)^2>=4xy=4/3[(x+y)^2-1]

化简得：（x+y）^2<=4（当且仅当x=y时取等号）

所以，当x=y=1,即∠COA=60°时x+y可以取得最大值为2

此题确是好题，没有为楼主画图，请楼主自己动笔，希望能解楼主之疑。

第二种方法

 第一题

作辅助线DF，DF与BC平行做含睁。

那么OF/OA=OD/OB=2/3

又三角形OEF相似于CEA

EF/AE=DF/AC=2/3

所以OE=OF+FE=OF+2AE/3=2OA/3 +2/3(OA-OE)

那么OE/OA=4/5=u

第二题

1、 如图做辅助线，CD平行OB，CE垂直OA，那么

OD=（2√3）/3，AC=（√3）/3

在直角三角形CDE中，可求得DE=√3/6    CE=1/2

那么 OE=OD-DE=√3/2

在直角三角形OCE中 CE=1/2，OE=√3/2，OC=1

所以，

2、 辅助线如第一问 (方法与第一问完全一样)

OD=x，AC=y

那么DE=y/2   CE=(√3/2)y    OE=x-(1/2)y

在直角三角形OCE中  EC^2+OE^2=OC^2

[(√3/2)y]^2+ [x-(1/2)y]^2=1

X^2+Y^2-xy=1>=(x^2+y^2)/2>=(x+y)^2/4

所以x+y<=2

当且仅当x=y=1时等号成立

注：一般大题的第一问是一个特例，第二问是未知数标的泛数，遇到这种情况时，第一问的解题方法通常适用于第二问，只不过用未知数代替实数罢了。